О происхождении терминов и обозначений

Раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением. Приращения вида Δf, представляющие собой разности, играют заметную роль при работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня diffterentia (разность) в названии calculis differentialis нового исчисления, которое переводится как исчисления разностей; это название появилось уже в конце XVII в., т.е. при рождении нового метода.
Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова derivee, которое ввёл в 1797 г. Ж. Лагранж (1736-1813); он же ввёл современные обозначения у’, f’. Такое название отражает смысл понятия: функция f ‘(x) происходит из f(x), является производным от f(x). И. Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию — флюентой.
Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как
Рассказ о происхождении терминологии, принятой в дифференциальном исчислении, был бы не полон без понятия предела и бесконечно малой.
Обозначение lim - сокращение латинского слова limes ( межа, граница). Термин предел ввёл Ньютон.
Слово «экстремум» происходит от латинского extremum (крайний).
Maximum переводится как наибольший, а minimum — наименьший

Остановись мгновенье!
Мы тебя исследуем.

г. Воронеж,
Пер. Туркменский, 14 а
Телефон: (247) 76-72-08,76-78-09
Электронная почта:

Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика, и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем.
Ф. Энгельс

Остановись мгновенье!
Мы тебя исследуем.

МОУСОШ № 50
г. Воронеж

Авторы: учащиеся 10а класса

Модель механического движения

Производная и геометрия.

Метод экономического моделирования.

Представим себе, что мы отправляемся в автомобильную поездку. Садясь в машину, посмотрим на счётчик километража. Теперь в любой момент времени мы сможем определить путь, пройденный машиной. Скорость движения мы узнаём по спидометру. Таким образом, с нашим движением связаны две величины – путь s и скорость v, которые являются функциями времени t.
Ясно, что путь и скорость связаны между собой. Открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания. Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, техническими науками, аналогична связи между путём и скоростью.
Основными математическими понятиями, выражающими эту связь, являются производная и интеграл.
Построенная Ньютоном модель механического движения остаётся самым важным и простым источником математического анализа, изучающего производную и её свойства. Вот почему на вопрос, что такое производная, короче всего ответить так:
производная—это скорость.
Для определения скорости точки в момент времени t (её в механике часто называют мгновенной скоростью) поступим так: возьмём отрезок времени [t; t1] , вычислим среднюю скорость на этом отрезке и начнём уменьшать отрезок [t; t1] , приближая t1 к t . Мы заметим, что значение средней скорости при приближении t1 к t будет приближаться к некоторому числу, которое и считается значением скорости в момент времени t.
Используя слово «предел», можно сказать, что мгновенная скорость в точке t—это предел средней скорости при стягивании отрезка, на котjром она измеряется, в точку t или

Чтобы составить наглядное представление о том, как провести касательную, нужно вообразить себе, что к кривой, изготовленной из жесткого материала (например из проволоки), вы приставляете линейку так, чтобы она коснулась этой кривой в выбранной точке.
Если вы вырезаете из бумаги криволинейную фигуру, то ножницы направлены по касательной к ее границе.
Постараемся перевести наглядное представление о касательной на более точный язык. Будем считать, что кривая– это ломаная с очень большим числом маленьких звеньев. В первом учебнике по анализу, написанным Лопиталем, последователем Лейбница, дается такое определение:”Если продолжать одно из маленьких звеньев ломаной, составляющих кривую линию, то эта продолженная таким образом сторона будет называться касательной к кривой.»
Пусть дана кривая и т. Р на ней . Возьмем точку Р1 и проведем секущую через эти точки. Станем приближать точку Р1 к Р. Положение секущей РР1 будет меняться. Предельное положение секущей РР1 при стремлении Р1 к Р и будет касательной к кривой в т.Р.
Переведем описанное построение на язык формул. Вычисление углового коэффициента данной касательной и есть нахождение производной.
Для точного вычисления производной надо совершить предельный переход - стянуть отрезок изменения аргумента в точку. Тогда угловой коэффициент касательной (или производную ) можно найти как предел выражения при стремлении х1 к х.
Этот предельный переход носит название дифференцирования функции.
ВЫВОД. Нахождение производной - это математическая операция в геометрии , сводящаяся к вычислению углового коэффициента касательной.

Производная используется при решении разнообразных прикладных задач.
Российский математик XIX в. П.Л. Чебышев говорил, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды». С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-конструкторы стремятся так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции; конструкторы разрабатывают прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей; экономисты планируют связи предприятия с источниками так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д.
Задачи подобного рода носят общее название — задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum - «наилучший»).
Задачи на оптимизацию решают по схеме из трёх этапов математического моделирования: 1) составление математической модели; 2) работа с моделью; 3) ответ на вопрос задачи.
Задача. Расходы на топливо, необходимое для движения океанского танкера, пропорционально кубу его скорости и составляют 200 руб. в час при скорости 10 узлов, а все прочие расходы составляют 1000 руб. в час. Найти наиболее экономичную скорость движения. Вычислить дополнительную прибыль, если расстояние до порта назначения 1000 морских миль.
1 этап: если принять за х узлов наиболее экономичную скорость движения океанского танкера, то функция расхода средств за
один рейс будет иметь вид
2 этап (работа с моделью):
При Р’ = 0,
Решив уравнение, получим что скорость 13,6 узлов является наиболее экономичной.
Дополнительная прибыль за один рейс в 1000 морских узловсоставит 97000 руб.